Независимый бостонский альманах

ВЕСЕЛАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

01-01-1998

Mark Reitman
Это слово уже изрядно набило оскомину: то и дело приходится слышать об "оптимальном решении", "оптимальном файле", "оптимуме по весу" и т.д. вплоть до "самого оптимального плана действий". Как к ним относиться? Не стоит ли "оптимизировать" свое поведение , раз и навсегда исключив из него знакомство со всем, что имеет корень "оптим" да и дело с концом?
И верно, начнем с конца. "Самый оптимальный план" следует оставить речам, написанным для политиков, диссертациям горе-экономистов и прочим забавным предметам, ибо это тавтология: латинское слово "орtimum" уже и так означает "самый лучший" и применять к нему измерительные эпитеты излишне. Более того, для многих специалистов появление оборота "первая машина оптимальнее второй" уже достаточный повод, чтобы прекратить слушать выступающего, убедившись, что перед ними невежда. Увы, во многих других случаях приходится делать тот же вывод: люди не понимают, что в бескрайних просторах математики нет места для степени оптимальности; оптимальность – это уже и есть самое лучшее.
Итак, прежде всего надо определить, что в управляемом объекте мы желаем видеть оптимальным, т.е. самым большим или самым малым. Это означает выбор критерия оптимальности. Например, в экономических решениях нам обычно по душе минимум затрат. А иногда мы стремимся к максимуму эффективности. Но критерий оптимальности может быть, строго говоря, только один (множественные критерии оптимальности отложим на завтра). Это значит, что бесполезно добиваться минимума затрат при максимальной эффективности, даже если этого требуют самые развесистые лозунги на стенах. Ибо минимум затрат это, очевидно, или нуль, или вообще отрицательная величина (то есть- доход), но и эффективность при этом будет нулевой или отрицательной. И никакой принцип минимакса от этого не спасет. Корректная постановка задачи оптимизации - это минимум затрат при заданной эффективности или максимум эффективности при заданных затратах.
При этом очень просто сводить задачу о минимуме к задаче о максимуме чего-то, просто вводя эту величину со знаком "минус". Можно менять минимизируемые и максимизируемые показатели, но главный принцип должен оставаться в силе: что-то должно оптимизироваться, а что-то задаваться. Соответственно, первое что-то называется критерием оптимальности, а второе – ограничениями. Без этих двух элементов задачи оптимизации не бывает, хоть ты лопни от учености!
Употребляя слово "оптимизация", нужно обязательно указывать, по какому критерию она понимается; иначе она будет "конгениальна конгениальности" в том смысле, в каком употреблял это слово Остап Бендер. (Напомним, что слово "конгениально" в правильном употреблении означает "так же гениально, как… Бендер же упорно избегал сравнения"); между тем в ряде публикаций то один, то другой из этих компонентов опускаются, а то и оба сразу - чего там мелочиться!
Рассмотрим, к примеру, самую популярную книгу в мире. А какая книга сейчас самая популярная? Разумеется та, что имеет самый большой в мире тираж. Ну-ну? Библия, Коран, Махабхарата, Полное собрание сочинений Ленина, Сказки Андерсена? Все не то! Самый большой тираж за последние 3 года имеет только одна книга. Это толстенный фолиант, который, будучи отпечатан, занял бы тысячи страниц. Это "Неlp" ("Помощь") к программе Windows 95. У нее тираж равен числу пользователей "окон", т.е. десяткам миллионов людей на многих языках. Что же она нам предлагает по вопросу оптимизации? Только несколько полуобмолвок… Но обратимся к истокам.
Кто был первый оптимизатор? Никто этого не знает, но, несомненно, дело было очень давно. Можно приписать первенство древней гречанке Дидоне, с которой произошла следующая история. Муж Дидоны был царем города Тира. Его убил брат Дидоны Пигмалион, сам ставший царем. Дидона с несколькими спутниками, не ожидавшими, видимо, от нового царя ничего хорошего, бежала в Африку, на место нынешнего Туниса. Там им пришлось купить земли для жилья. Хозяева диктовали условия покупки: за все свое золото беглецы получат столько земли, сколько охватит шкура вола.
Долго размышляли греки, как не продешевить, как получить у скаредных, но простодушных туземцев на имеющееся золото как можно больше земли. Первый пункт оптимального решения состоял в том, что шкуру разрезали на очень тонкий шнурок много миль длиной, и науки тут не было – только хитрость. Зато второй пункт решения был по последнему слову новой греческой науки – геометрии. Шнурок протянули по полуокружности вдоль прямого берега моря и действительно отхватили немало почвы, где удалось воздвигнуть целый город – Карфаген, доставивший потом немало нервотрепки римлянам.
Судьба же самой Дидоны на новом месте сложилась неплохо. После захвата греками Трои, согласно Вергилию, туда попал другой беглец, троянец Эней: Эней и Дидона, тоже беженка, были счастливы, но потом Эней решил отправиться еще куда-то, а Дидона (она была не только автором "задачи Дидоны", о которой рассказано выше, но еще и царицей), верная своему долгу царицы, не могла покинуть Карфаген и покончила с собой. Что могло быть "оптимальнее" для немолодой женщины, чем такая любовь?
"Задачей Дидоны" (как нитью заданной длины охватить наибольшую площадь, прилегающую к заданному углу?) занимались математики Эратосфен, Зенодор и сам великий Архимед. Им пришлось для ее решения изобрести две штучки, которые много столетий спустя наблагодарные потомки припишут другим математикам, Исааку Ньютону и Ричарду Беллману и назовут соответственно "интегральным исчислением" и "динамическим программированием". Первые трое были сотрудниками Мусея, греческого научно- исследовательского института в Александрии еще в третьем веке до н.э. Они не употребляли мудреных названий, и может поэтому так долго их вклад оставался в неизвестности.
Универсальным способом отыскания оптимальных решений служили в древности оракулы. В частности Дельфийский оракул мог ответить любому свободному греку и даже варвару-иностранцу на вопрос, стоит ли ему затевать бизнес, жениться, начинать войну с соседним городом, или с какой стороны лучше напасть на противника, если война уже идет – нужно было только ему хорошо заплатить. Решения сообщали пифии – сотрудницы оракула, якобы в бессознательном состоянии. Но было немало доказательств того, что вырабатывали их неглупые люди, тайно владевшие большой полезной информацией. Например, они обладали данными о финансовом состоянии всех афинян и при случае могли правильнее сообщить об успехе или неудаче торгового начинания, чем это мог сделать сам владелец оного. То есть, они были чем-то вроде тайных аудиторских контор древности. Многие толковые люди, судя по диалогам Платона, подозревали истину (к примеру, драматург Эврипид), но предпочитали не кричать о ней на каждом перекрестке, разве что сообщить друзьям во время попойки.
Оптимизация часто является синонимом поиска нахождения конструкции с наименьшим весом материала. Первая задача такого рода была решена Галилеем в 17-м веке. Галилей правильно определил, что оптимальная консоль имеет параболическую форму. Однако минимум веса применим не всегда. В разных случаях возможны самые разнообразные критерии оптимальности. Например, минимум затрат. При этом ограничениями могут служить требования прочности или законы электротехники, Остановимся на одной такой задаче, впервые поставленной лордом Кельвином лет сто пятьдесят назад.
Допустим, требуется подобрать площадь сечения проводника при заданном токе, но так, чтобы общая сумма затрат на линию электропередач была минимальна. Эти затраты складываются из стоимости линии (т.е. стоимости медного провода) и потерь электроэнергии при передаче. Кельвин заметил, что если увеличивать толщину провода, то будет повышаться стоимость проводника, а если уменьшать ее , то подскочит стоимость потерь электроэнергии. Оптимум находится где-то в золотой середине, где еще овцы сравнительно целы и волки не страдают от переедания. И этот оптимум нетрудно найти аналитически.
Остановимся на примере задачи, принадлежащем нашему времени и говорящем о многообразии критериев оптимальности. Многострадальная история советского животноводства знала и такую страницу. Некто Максимовский в 1965 г. предложил собирать коровники из огромных железобетонных элементов весом 18 тонн. Только это доказало бы нашим самым сознательным в мире коровам, что с хрущевским волюнтаризмом покончено, КПСС проявляет о них настоящую заботу, и они ответят на эту заботу самыми высокими в мире удоями.
Доклад Максимовского вызвал на заседании ученейшего из советов, членом которого я имел честь пребывать, весьма свирепую оппозицию. Изобретателю говорили, что такое решение "недостаточно оптимально", что циклопические элементы негде изготовлять, нечем монтировать и не на чем возить, да и не дотащишь их в сохранности до стройплощадок по рекордной глубины колеям, проложенным нашими самыми тяжелыми в мире самосвалами. Когда загнанный в угол Максимовский оставался уже без всяких аргументов, он понижал голос до трагического шепота и бросал в ошалевшую от криков негодования аудиторию свой последний козырь: Надеюсь, здесь все партийные? Раскрою вам секретные данные по строительству СССР за прошлый год. Вы знаете, сколько процентов материалов воруется частными застройщиками? Да нет, откуда вам знать.(Это он говорил едва слышно, чтобы беспартийный враг не услышал) Двадцать восемь процентов ! Пусть кто-нибудь попробует украсть мою конструкцию! (громовым голосом, победно). Ему пришлось бы для этого раскошелиться на левый грузовик, прицеп и милицейское сопровождение! Это ли не оптимальная конструкция?!
Не помню уже реакцию совета, но помню реакцию буренок: у них не хватило сознательности, не согласились даже в новых коровниках подождать с кормами до следующего года. И учинили среди себя неслыханный для того года падеж
Мысль о том, что оптимизация мало что дает, сквозила и выше. Но здесь наша задача в том, чтобы выразить это явно. Отчего же это гордое слово порой рассыпается во прах?
На первом, отнюдь не почетном месте, стоит вырождение. Что это такое? Оно схоже с любовью, как о той поется в старой песне, оно появляется, "когда его совсем не ждешь". Попробуйте проверить свою интуицию на такой простой задачке, Требуется перекрыть пластинкой переменной толщины квадратное отверстие от давления газа или песка. Уверен, что многие решали эту задачу в жизни много раз с помощью пластинки постоянной толщины. Но теперь соблюдем два условия: решение должно быть оптимальным, т. е. на него должен пойти минимум материала, и не нужно учитывать касательные напряжения (это замечание для специалистов, прочие вправе его игнорировать).
Обратите внимание, мы ничего не сказали о прочности и жесткости материала и о размерах отверстия. Также ни слова не прозвучало о величине давления в отверстии. Неужели все эти сведения не играют роли? Точно, не имеют! Просто искомую пластинку нужно снабдить ребрами, простыми ребрами, и ребра эти должны иметь бесконечную высоту, должны стоять бесконечно близко и быть бесконечно тонкими. А направление и форма ребер могут быть любыми. Такая пластинка выдержит любую нагрузку при сколь угодно малом расходе материалов. Иначе говоря, на такую пластинку можно не затратить материала вообще. Придумал чудесную пластинку в 70-х годах тогда ленинградский, а ныне массачусеттский физик Константин Лурье. В числе жертв этой порочной оптимизации, весь "маленький" недостаток которой только в том, что ее невозможно достигнуть, оказались многие советские, российские и американские ученые, "решавшие" эту задачу и даже получившие и опубликовавшие свои оптимальные решения. Разве что можно считать "оптимальные пластинки идеальным объектом, чем-то вроде абсолютно черного или абсолютно твердого тела.
Наконец, важным недостатком оптимизации служит ее малоэффективность: улучшение качества решения, на которое может рассчитывать принимающий решение, даже при самом высоком искусстве с его стороны не превышает 10-15% от значения критерия оптимальности. Слухи о об эффективности порядка 20-50% не более, чем дезинформация, лишь подрывающая доверие к оптимизации. Такое повышение качества решения может быть достигнуто только за счет перехода к новой технологии. Оптимизации, основанной на улучшении параметров имеющегося решения, опасно покушаются на это бесспорное положение. Однако такая дискредитация уже факт, с которым нужно считаться. И он порождает немало последствий. Косвенным подтверждением этого является прохождение одной заявки на грант через National Science Foundation. Девушка, регистрировавшая заявку, ошиблась и вместо слов OptiМal System напечатала OptiCal System – бывает! Странно другое: никто не заметил ошибки, включая рецензента, написавшего, что автор заявки ни черта не смыслит в Оптических Системах (что является правдой, против которой не возразишь!) и вместо того, чтобы затруднять NSF, должен обратиться к элементарному учебнику, дабы познакомиться с терминологией.
Критериев оптимальности так много, что нам здесь не перечислить даже их малой доли. Здесь и минимум тепловых затрат, и максимум прибыли, и минимум расхода катализатора при химических реакциях, и максимум радиационной безопасности. За последнее время изрядно набрал в весе критерий минимума времени (не путать с минимумом веса). Посмотрим его на примере "задачи о котлетах".
Требуется за минимальное время поджарить с двух сторон три котлеты по одной минуте каждую с каждой стороны на сковородке, вмещающей только две котлеты. Расхожее решение, процесс займет четыре минуты, если сначала жарить две котлеты, а потом одну, оставшуюся. Но можно жарить котлеты и оптимальным образом, если поджарить сначала две котлеты с одной стороны. Затем снять вторую котлету и дожарить первую и поджарить третью с одной стороны. Наконец, положив снова вторую, можно дожарить ее вместе с третьей. Тогда "оптимально" уйдет всего три минуты. Дополнительное преимущество: в полтора раза уменьшится расход тепла. Но есть и недостаток, высказанный мне женой: при первом, неоптимальном способе мы через две минуты мы можем оба уже через 2 минуты приступить к еде поджаренных двух котлет, а третья путь при этом продолжает жариться. А при оптимальном одному из нас придется голодным ждать еще минуту свою котлету.
Но я не возражаю против того, чтобы разломить пополам первую котлету. Против мытья сковородки ты тоже не возражаешь, но и не моешь ее никогда.
В общем, разговор вошел в свое обычное русло, покинув оптимизацию. И в этом была ее несомненная польза.

Комментарии

Добавить изображение



Добавить статью
в гостевую книгу

Будем рады, если вы добавите запись в нашу гостевую книгу. Будьте добры, заполните эту форму. Необходимой является информация о вашем имени и комментарии, все остальное – по желанию… Спасибо!

Если у вас проблемы с кириллическими фонтами, вы можете воспользоваться автоматическим декодером AUTOMATIC CYRILLIC CONVERTER.

Для ввода специальных символов вы можете воспользоваться вот этой таблицей. (Латинские буквы с диакритическими знаками вводить нельзя!)

Ваше имя:

URL:

Штат:

E-mail:

Город:

Страна:

Комментарии:

Сколько бдет 5+25=?