ПАРАДОКСЫ ОЖИДАНИЯ

 Уже сэр Томас Грэшем (1519-1579), выдающийся английский финансист, основатель Лондонской фондовой биржи, по-видимому, понимал, что математика играет важную роль в анализе биржевых операций. Так или иначе, но в своём завещании он оставил план создания колледжа, в котором математика рассматривалась в качестве ведущей учебной дисциплины. Принято считать, что именно создание Грэшем Колледжа и предопределило возникновение затем Лондонского Королевского общества, британской академии наук.

      У современных биржевиков математика вызывает почитание почти религиозное. Оно и понятно: результаты математического анализа рыночной конъюнктуры сейчас облекаются в устрашающе наукообразную форму. Уже один лишь вид оных исключает всякие сомнения трейдера в выводах, освящённых авторитетом царицы наук.

      Но сомневаться полезно. Путь к пониманию пролегает через познание, возникающее именно из сомнения. Источником последнего зачастую выступает парадокс, подрывающий рельсы перед эшелонами мышления, гружеными тяжкими предрассудками опыта. Парадокс, этот партизанский способ познания истины, не зря пользуется таким уважением в науке.

      Рассмотрим пару парадоксов, объединённых проблемой времени ожидания.

      Хорошо известно, что куда бы нам не надо было ехать, автобусы и трамваи обычно идут в противоположном направлении [1]. Вот и с day trading'ом связаны все те же печальные наблюдения. Допустим, строго следуя правилам фундаментального и технического анализа, Вы открыли позицию; можете не сомневаться, что в большей части случаев рынок пойдёт против Вашей позиции, побуждая Вас к мысли о скорейшей её ликвидации.

      Спеша по делам и экономя время, которое суть те же деньги, мы зачастую уходим с остановки автобуса, унося ощущение парадоксальности трафика. А наиболее упорные из нас, оставаясь ожидать дальше, невольно задумываются о теории вероятностей: неужели с этой благородной наукой не всё OK?

      Да нет, с ТВ всё в порядке. Но мысли о времени, потраченном на ожидания, конечно, приходили не в одну учёную голову. И не только в связи с расписанием движения автобусов. В начале прошлого века А.Эрланг исследовал время ожидания вызовов на телефонных станциях, а в 30-х годах В.Феллер описал продолжительность ожидания в очередях всех разновидностей с помощью модели, описывающей процесс "гибели-размножения". Эта модель оказалась чрезвычайно продуктивной. В частности, она дала импульс к развитию вероятностной дисциплины под названием "теория массового обслуживания". Как раз в рамках этой прикладной науки и получил рациональное объяснение парадокс, связанный с поразительным поведением рейсового транспорта.

      Относительно автобусов логично предположить, что время их прибытие на некую остановку, на которой Вы фиксируете выжидательную позицию, подчиняется некоторой функции плотности: иногда автобусы проходят один за другим, а иногда наступает пауза. Тогда следует принять во внимание следующее. На остановку Вы приходите в случайный момент времени и, следовательно, будете ожидать скорее дольше, чем меньше. Смысл: в общем случае Ваши шансы попасть в "пачку" интервалов, когда автобусы идут один за другим, меньше, чем попасть в интервал их отсутствия, относительно продолжительный. Отметим, что из попутных Вы замечаете лишь один автобус - только тот, на котором Вы покидаете свой наблюдательный пункт. Однако вероятность того, что за время, пока Вы ждёте попутного автобуса, в другую сторону их пройдёт два или три, положительна. Стало быть, в принципе, возможны следующие схемы событий:

      1) Ваш автобус пришёл быстро, т.е. раньше чем дела приняли такой оборот, когда Ваши размышления сконцентрировались на теории вероятностей;
2) автобус в нужном Вам направлении не приходил долго, но за это время не было и обратного движения;
3) долго не было попутного автобуса, в другую же сторону транспорт ходил исправно.

      Первый и второй случаи просто выпадают из наблюдательной практики, последний же вполне вероятен и всегда замечается. Иными словами, парадокс объясняется психологией наблюдения. Убедительность независимых наблюдений здесь того же типа как в оптической иллюзии, когда диск Солнца у горизонта кажется крупнее, чем в зените. Соответственно, и справиться с психологическим по происхождению парадоксом относительно несложно. Так, в случае, когда муниципальные власти могут позволить себе иметь много машин на линии, парадокс рассматриваемого типа можно было бы свести на нет, позволив водителям дольше стоять на остановках в ожидании подхода пассажиров. Кстати, в движении лифтов высотных зданий проблема "противоположного движения" практически незаметна именно потому, что время подхода пассажиров к лифту соизмеримо со временем его стоянки на этаже.

      Таким образом, транспортный парадокс может быть снят путём уменьшения среднего времени ожидания пассажирами транспорта (автобуса, самолёта [2], лифта), например, за счёт увеличения времени, которое транспортное средство ожидает пассажиров на остановках. На самом деле, лифт ещё можно задержать, чтобы подождать людей, которые скоро подойдут, но чтобы в условиях современного мегаполиса водитель автобуса поджидал пассажиров на остановках - это, конечно, скорее, из области теоретических допущений.

      Если водителя хотя бы в принципе можно попросить подождать несколько секунд, то рынок даже теоретически невозможно уговорить или заставить в чём-то уступить трейдеру. Рынок ничего никому не должен, но и не злонамерен - любят подчёркивать профессионалы. Однако личный опыт начинающих трейдеров, вопреки здравому смыслу, гласит о будто бы злонамеренном временами поведении рынка. Некоторые при этом ссылаются на полученные из опыта соотношения удачных и неудачных примеров открытия позиции, подтверждающие разительное превосходство частоты последних. Получается некий статистический парадокс. Парадокс - это то, что противоречит здравому смыслу. Пусть трейдер открывал позиции, что называется, наудачу. Но по здравому смыслу, результат даже столь примитивной стратегии, должен был бы систематически приводить лишь к тому, что на продолжительном интервале времени выигрыш компенсируется проигрышем, а финальный результат оказывается близок к нулю, не так ли? Не так!

      "По брокерской статистике 90 из 100 нынешних игроков, скорее всего, через год оставят биржу" сухо сообщает профессионал [3]. И, чтобы расставить точки над ё, тут же уточняет: "Скатившись на дно, они отступят, не сумев оправиться от удара. Они постараются забыть биржевую игру как кошмарный сон". Мысль интересная для нас тем, что неспособность подавляющей части людей приспособиться к рынку профессионал принимает как данность, т.е. не усматривает в этом положении дел никакого парадокса.

      Считается, что трейдеры в большинстве случаев всё-таки основывают свои решения отнюдь не на стохастическом (типа бросания монеты) принципе. Для принятия решений они могут использовать опыт, обращаться к фундаментальному и техническому анализу рынка, привлекать информационные технологии, здравый смысл, наконец. Д-р Элдер так и пишет [4]: "Анализируя рынок, опирайтесь на здравый смысл". Но ведь и открытые "по науке" позиции зачастую тоже приходится поспешно закрывать, а статистика неудачных вхождений в рынок даже опытных трейдеров заставляет задумываться о неком парадоксе. О каком именно?

      Да всё о том же, о парадоксе обратного движения. Ведь когда Вы, надеясь выиграть, открываете некоторую позицию, биржа тоже, фигурально выражаясь, "открывает позицию". Против Вас. Собственно, она всегда играет против Вас. И не только потому, что всегда есть слиппедж (slippage) той или иной природы. Есть ещё такое явление, как нетранзитивность, которое тоже работает против Ваших интересов. Про слиппедж пишут во всех руководствах по трейдингу. Вот как живописует это неизбежное зло биржевой жизни Александр Элдер [5] : "Проскальзывание при вступлении в сделку и при выходе из неё - это как укус маленькой или большой акулы" - ужасно, не правда ли? На деле проскальзывание означает, что Ваш приказ был отдан по одной цене, а исполняется по другой. Про этот тип потерь, а также о размере комиссионных, которые Вам следует платить Вашему брокеру, читайте у Элдера. Вопросы эти, несомненно, важны, но мы углубились в иную тему и потому не станем отвлекаться.

      Ниже мы попытаемся разобраться в парадоксе нетранзитивности в плане воздействия означенного парадокса на благосостояние трейдера. Но вначале выясним, что скрывается за не весьма благозвучным словом "нетранзитивность". Большинство людей в корне "транзит" сразу различает "романтику дальних дорог" [6] и, уловив аналогию с транспортной проблемой, о которой шла речь выше, догадывается, что нетранзитивность - это какая-то характеристика движения, притом со смыслом отрицания. Так оно и есть: в одну сторону деньги идут чаще, чем в другую. И Вы, по-видимому, догадались, что как раз благодаря нетранзитивности, они чаще идут в сторону биржи, чем трейдера. Но если в ситуации с автобусами подобный тип движения на самом деле есть не более чем иллюзия, то на бирже, как известно, иллюзий не бывает никаких, потому что их там не может быть по определению. Так в чём же фишка?

      Ну, естественно, в математике!

      Человек-оркестр современной прикладной математики Дональд Е. Кнут [7] разыгрывает парадокс нетранзитивности на примере так называемой "игры Пенни". Смысл изобретённой Уолтером Пенни в 1969 году игры [8]очень прост: Алиса и Боб, бросают по очереди монету до тех пор пока не появится последовательность "решка, решка, орёл" или "решка, орёл, орёл" (сокращённо, соответственно, РРО и РОО). Игру эту теперь называют "Penney-Ante". В ней Алиса выигрывает, если первой появится последовательность РРО, а если раньше появится РОО, выигрывает Боб. "Игра Пенни" выглядит определённо справедливой, если, разумеется, используется правильная монета [9]. Это вполне логично: обе последовательности РРО и РОО, если брать их по раздельности, обладают одинаковыми вероятностными характеристиками. Но при совместном рассмотрении обнаруживается некое небезынтересное взаимодействие этих последовательностей, именуемое нетранзитивностью.

      Опуская подробности, подробно разобранные у корифея дискретной математики, перейдём прямо к результату, суть которого в том, что при описанных правилах РРО и РОО (или образцах А и Б) Алиса будет примерно в два раза чаще выигрывать (NB: в стохастическую игру!), чем Боб. Важно, что образцы эти можно увеличивать, т.е. брать чередования "орлов" и "решек" длин более чем в 3 символа, сохраняя при этом возможность доминирования одной из сторон за счёт правильного выбора стратегии. Пусть, например, Боб предлагает образец РОРР. Тогда, если Алиса отвечает ему выбором образца вида РРОР, то она добьётся победы в соотношении 3/2. Такая особенность "игры Пенни" позволяет сформулировать в общем случае некоторое правило, которое даёт возможность одной из сторон добиться большего, чем чисто случайная победа, посредством выбора стратегии ответа на вызов. Математики в связи с этим говорят, что отношение между образцами нетранзитивно.

      Теперь, допустим, Боб, уже обыгранный хитроумной Алисой в "игру Пенни", решил попытать счастья в валютных спекуляциях. На курсах трейдеров он усвоил, что биржа, как и знакомая ему игра с подбрасыванием монеты, тоже принципиально дискретна. Это значит, что, открывая позицию, Боб неявно предполагает дальнейшее развитие тренда в нужную ему сторону как последовательность (в общем случае бесконечную) вида РРР… или ООО…. Но вне зависимости от того, в каком направлении бедняга открыл позицию, ожидать, например, последовательности РРРРР ему придётся почти что вдвое дольше, чем последовательностей РРРРО или ОРРРР. Монотонные последовательности относятся к т.н. самосовмещающимся. Относительно них, как сообщает Д. Кнут, известен важный результат, найденный впервые советским математиком А.Д. Соловьёвым [10] в 1966 году, и заключающийся в том, что последовательности несамосовмещающиеся появляются раньше, чем самосовмещающиеся. Что же сие означает?

      Означает, как выразился (правда, по другому поводу) известный естествоиспытатель И.В. Мичурин (1855-1935), что "бесполезно ждать милостей от природы". В нашем случае рынок тоже подразумевается частью природы, к сожалению, малоизученной - социальной.

      В социальных взаимодействиях многие процессы протекают по иному, чем в косной среде, исключительно вследствие наличия задержки во времени. Систематическая задержка (память) порождает нетранзитивность, а последняя превращает статистически идентичные стратегии игроков в заведомо неравноценные. Как, например, в "игре Пенни". Рассмотрим гипотетический механизм, с помощью которого биржа "пользующаяся" случайной стратегий, может систематически "обыгрывать" трейдера, придерживающегося той же самой стратегии, заставляя его закрывать большую часть открываемых позиций без достижения точки безубыточности.

      Допустим, что Боб задался целью "уйти в нули". На "форексе" ему для этого нужно "отловить" где-то от 4 до 8 пунктов, чтобы достичь break even point - точки безубыточного закрытия позиции. Для определённости будем полагать, что Боб последовательно открывает позицию, делая это в случайные моменты времени и определяя направление открытия своей позиции бросанием монеты. И пусть всякий раз он пытался "отловить" 5 пунктов движения рынка в сторону открытой случайным образом позиции. Если ко всему этому предположить ещё и период относительного затишья, когда броуновское движение рынка было характерно малой волатильностью, то со всеми этими натяжками модель движения рынка тоже сведётся к бросанию монеты: "орёл" - движение на один пункт вверх, "решка" - на пункт вниз.

      Подобная формулировка хорошо известна в классической теории вероятностей. Она и название имеет вполне подходящее - "задача о разорении игрока" [11]. В тех предположениях, что были описаны выше, результат хорошо известен. Если Боб будет делать take profit при достижении чаемых 5 пунктов в сторону открытой им позиции и ликвидировать позицию в случае, если рынок пройдёт 5 пунктов против неё, то одно из событий будет достигаться в среднем за 25 "тиков" (шагов) дискретного процесса изменения котировок. Если бы всё так и происходило, как оно описано в учебнике по теории вероятностей, то на продолжительной серии вхождений в рынок Боб и вправду ушёл бы в нули, поскольку оба возможных события в описанных предположениях равновероятны, притом что достигаются довольно быстро.

      Но мгновенная (real time) реакция трейдера на процесс изменения котировок просто невозможна, равно как невозможно мгновенное исполнение команд трейдера на проведение сделки. Психофизиологические возможности человека и технические возможности биржи являются ограничителями скорости исполнения команд трейдера на открытие и закрытие позиции, т.е. в реальной биржевой практике неизбежны задержки во времени.

      Далее, мы должны предположить, что удачливая Алиса, накопившая положительный опыт игры в "Penney-Ante", теперь работает на бирже. Несомненно, она знает, что задержка эквивалентна переходу от модели движения рынка, основанной на бросании одной монеты, к модели с двумя неодинаковыми монетами. Обратим внимание на этот существенный для дальнейших выводов момент рассуждений. Право, это важно, хотя и общеизвестно по сути. В большинстве приложений тот факт, что "задержка дестабилизирует" является аксиомой. Для нас, в рассматриваемом случае, важно, что неизбежные задержки дестабилизируют т.н. "механистический трейдинг". Точнее, его умозрительную модель, основанную на гипотезе бросания монетки.

      Умозрительная модель ведь в чём? - всего 25 бросаний и мы на финише. Но задержки! Задержки влекут модель уже с двумя монетами. Она, эта модель тоже хорошо известна математикам. Не станем пересказывать теорию, заметим только, что в модели с двумя монетами для того, чтобы достичь движения 5 пунктов в ту или в другую сторону требуется уже не 25 шагов, как в модели с одной монетой, а много больше. Но отсутствие быстрого роста в нужную нам сторону или - напротив - медленный дрейф против открытой нами позиции, как правило, завершается ликвидацией последней. А чем больше задержка, тем медленнее развивается броуновский процесс, тем реже в нём проявляются элитные (быстрорастущие в нужную сторону) последовательности.

      Психологически даже опытные игроки не всегда готовы к такому, как принято говорить, "контринтуитивному" поведению биржи, зато Алиса, несомненно, тщательно штудировавшая труды Кнута, хорошо это знает. Отсюда и вполне объяснимый (NB: психологически!) факт, что трейдеры, столкнувшиеся с парадоксом ожидания, чаще закрывают позиции, чем оставляют их развиваться дальше.

      Пример, приведённый выше, действительно, несколько надуманный. Существуют и более близкие к реальной жизни способы оценивания эффективности стратегий. Например, через т. н. мартингал, который на самом деле есть последовательность случайных величин, связанная между собой неким условием. Броуновский характер движения цен на фондовой бирже и его связь со стратегией трейдера, выражаемой через мартингал, первым установил в 1900 году Луи Башелье (Lois Bachelier). В его докторской диссертации, посвящённой новой тогда теме так называемых безобидных игр, профессора в Сорбонне разобраться не смогли. Сама работа была впоследствии прочно забыта, а приоритет Башелье восстановлен лишь в трудах известного американского математика, лауреата Нобелевской премии по экономике Пола А. Самуэльсона. Во всяком случае, механизм биржевого парадокса считался понятым более ста лет тому назад. Что же даёт нам в практическом плане столь долгая история?

      Не так уж и мало. В частности, рассеиваются иллюзии относительно эффективности стратегии т.н. механистического трейдинга типа: кинул монету, открыл, подождал, закрыл, снова кинул, etc. Дело в том, что биржа реализует стратегию Алисы. Не потому, что именно за биржу "играют" острейшие умы (хотя, возможно, и не без того), просто в роли трейдера Боб уж очень ограничен в стратегиях, его выбор - всегда монотонные самосовмещающиеся последовательности. На достаточно продолжительных интервалах времени такая стратегия трейдера Боба побивается почти любой стратегией Алисы. Успеха Алиса достигает за счёт того, что Боб вынужден дольше ожидать выигрывающих комбинаций. Вот и выходит, что по-настоящему эффективная стратегия трейдера не может быть в чистом виде случайной, ей неизбежно должен быть присущ детерминированный манёвр по времени. Иными словами, двоичным датчиком случайных чисел биржу не проймёшь.

      Вот такая грустная история. Сплошная, в общем, психология: то, что принципиально неравномерно (биржа), здравому смыслу представляется как раз равномерным, и напротив равномерное в принципе (автобусное движение) на том же основании так и хочется объявить неравномерным! Теперь отчасти понятнее афоризм, приписываемый Альберту Эйнштейну: "Здравый смысл - это сумма предубеждений, приобретённых до 18-летнего возраста". Нет, не зря, видно, спортивные тренеры считают, что с 18-летним игроком всё уже ясно: если это личность вполне безбашенная - будет играть, а коли успел где-то набраться здравого смысла, то прощай спортивная карьера. А что поделаешь? Парадокс ожидания!

      ********************************************************

      [1] Удачливые валютные спекулянты этого могут, конечно, и не знать, поскольку общественному транспорту они, как известно, предпочитают дорогие модели автомобилей. - Прим. автора.
[2] "Открыт закрытый порт Владивосток, Париж открыт, но мне туда не надо" - В.С. Высоцкий.
[3] Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже. - М.: Крон-Пресс, 1996, с.46
[4] Цитированный источник, с.84
[5] Цитированный источник, с.14
[6] Кто-то, быть может, припомнит "Sic transit gloria mundi" и тоже будет по своему прав. - Прим. автора.
[7] Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основания информатики. - М.: Мир, 1998, с. 448.
[8] Walter Penney "Problem-95: Penney-Ante" // Journal of Recreational Mathematics 7 (1974), 321.
[9] Кнут добросовестно отмечает в цитированном источнике (с.438), что, например, американский пенни отнюдь не является "правильной монетой", поскольку распределение масс в нём таково, что, будучи использован для игры в "орлянку", он заметно чаще (9 раз из 10) падает на одну из сторон: "голова Линкольна перетягивает", пишет классик. - Прим. автора.
[10] Соловьёв А.Д. Одно комбинаторное тождество и его применение к задаче о первом наступлении редкого события // Теория вероятностей и её применение, 11 (1966), 313-320.
[11] Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1965, с.62-66. [1]