Независимый бостонский альманах

Кривые дракона, слой-драконы, паркет-драконы

13-01-2018
  • От автора    Статья с изложением  идеи генерирования  семейства кривых,  названных слоистыми драконами,   была опубликована  в     альманахе  «Лебедь» (№780 от 16.04.2017 г.)  под названием  «Драконы, шире круг!» и была приурочена к 50-летнему юбилею замечательного математического объекта - кривой дракона.  Предлагаемое  дополнение к статье  раскрывает  ещё  одну  сторону  этого  нового  семейства  кривых.   Автор благодарен  В.П. Лебедеву – редактору альманаха, опубликовавшему статью никому не известного инженера,  и  С.Л. Табачникову,  давшему  (в  частном  письме) положительную  оценку  первоначальному варианту этой работы.                            Слой-драконы  и  замощение плоскости   (паркет-драконы)  

    Присущие  линиям  слоистых драконов свойства замкнутости и самопересечения  позволяют  рассмотреть ещё  одну возможность  заполнения плоскости – замощение.  Замощением (или паркетами)  называется  сплошное  покрытие плоскости  геометрическими  фигурами (правильными или неправильными многоугольниками)  без  пробелов  и  перекрытий.   Геометрические  фигуры,  из которых  образуется  паркет,  называются  плитками.  Паркет в целом состоит  из  большого  количества  плиток,  но  ограниченного  числа плиток,  различающихся  по форме  - так называемых  протоплиток,  конгруэнтными  копиями которых и формируется паркет.

    Замыкаясь,  линии   слой-драконов без самопересечений  образуют  на  плоскости  выделенную область, а линии  с самопересечением образуют внутри этой области ещё и локальные замкнутые участки. Залив такую область  или  отдельные  участки   цветом,  можно  получить  простые или очень сложные конфигурации  протоплиток  и  использовать  их в замощении.

    Простые или сложные конфигурации  протоплиток  также можно получить,  генерируя  полный  код  замкнутых линий слой-драконов.   На рис. 9  представлены  такие  линии  Т2, Т3, Т4, Т5, Т6  с их короткими  кодами SC.  Протоплитка  Т1 образуется  при  самопересечениях  линии  слоистого дракона  за счёт скругления (срезания) прямых углов ломаной линии.  Протоплитка  Т4-1  получена  отсечением  фрагмента  от  Т4  и  не имеет собственного полного кода.  Используя  различные  сочетания этих протоплиток,  можно  провести  замощение  плоскости многими способами.  На  рисунке  представлены четыре  варианта  таких  паркетов.

    Рис.9  Замощение плоскости с использованием относительно простых  протоплиток

    dragon1 copy

    Рис.10  Замощение  плоскости  выделенной областью  слой-дракона

         dragon2

    Ещё один способ получения   протоплиток  и составления паркета приведён на  рис.10.  Из  слой - дракона  9-го  порядка  выделен фрагмент  в  форме  прямоугольника.  Нужное для паркета  количество  фрагментов  плотно  стыкуются,  как показано на  рисунке.  При  этом  возникают  замкнутые  контуры  протоплиток (в данном случае – Т7), не имеющие  собственного полного  кода.

    Следует  особо подчеркнуть,  что на рисунках заливка  плиток  паркета  цветом выполнена для  удобного визуального восприятия  замощений.  Математический  паркет  использует  только  геометрические  формы.

    Представленные на рис.9 и 10 конфигурации  протоплиток относятся к  разновидности полимино – полиплетам - плоским геометрическим  фигурам,  составленным из квадратов, соединённых вершинами.  На рисунках квадраты скруглены, а их вершины   соединяются между собой   характерным  «мостиком».  В  литературе  описание  и  классификация  различных форм полимино (и, в частности,  полиплетов)  сводится  к  демонстрации  их изображений,  сгруппированных  по какому-либо признаку.  Автор предполагает,  что  короткий код слой-драконов SC  может  послужить  ключом  к   усовершенствованию математического описания подобных структур  (см. S. Jablan   “Mirror curves”).   На рис.11  представлен  слоистый дракон - полиплет  из  256  квадратов.

    dragon3

    Рис.11  Полиплет  из  256 квадратов с его коротким кодом  SC

    Заливка цветом позволяет выявить своеобразное  «взаимопроникающее замощение».  На рис.12  классическая кривая дракона замкнута произвольной линией;  образовавшаяся  замкнутая область  и  фон  залиты  разным  цветом.

    Возникшие сложные  взаимопроникающие  конфигурации  заполняют плоскость без пробелов и перекрытия.

    Пусть,  оформленная  таким образом  классическая  кривая  Хейтуэя-Хартера - кривая дракона,  будет знаком  признательности  людям,  подарившим  нам  этот  замечательный  математический  объект.

    Рис.12     Классическая  кривая  дракона («взаимопроникающее замощение»)

    dragon5

    Дополнительные материалы      

    - S. Tabachnikov,  «Dragon  curves  revisited»

    (https://www.math.psu.edu/tabachni/prints/DragonCurves.pdf).

    - Н.Б. Васильев,  В.Л. Гутенмахер,  «Кривые  дракона».  Журнал «Квант» №2, 1970 г.

    - А.Н. Колмогоров, «Паркеты  из  правильных  многоугольников». Журнал     «Квант» №8, 1986 г.

    - Мартин  Гарднер,  «Математические новеллы», изд. «Мир», Москва,1974 г.

    - С.В. Голомб,  «Полимино»,  изд. «Мир», Москва,1975 г.

    - Slavik  Jablan   « Mirror   curves»,

    (archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-233.pdf)

Комментарии

Добавить изображение



Добавить статью
в гостевую книгу

Будем рады, если вы добавите запись в нашу гостевую книгу. Будьте добры, заполните эту форму. Необходимой является информация о вашем имени и комментарии, все остальное – по желанию… Спасибо!

Если у вас проблемы с кириллическими фонтами, вы можете воспользоваться автоматическим декодером AUTOMATIC CYRILLIC CONVERTER.

Для ввода специальных символов вы можете воспользоваться вот этой таблицей. (Латинские буквы с диакритическими знаками вводить нельзя!)

Ваше имя:

URL:

Штат:

E-mail:

Город:

Страна:

Комментарии:

Сколько бдет 5+25=?