Кривые дракона, слой-драконы, паркет-драконы
13-01-2018- От автора Статья с изложением идеи генерирования семейства кривых, названных слоистыми драконами, была опубликована в альманахе «Лебедь» (№780 от 16.04.2017 г.) под названием «Драконы, шире круг!» и была приурочена к 50-летнему юбилею замечательного математического объекта - кривой дракона. Предлагаемое дополнение к статье раскрывает ещё одну сторону этого нового семейства кривых. Автор благодарен В.П. Лебедеву – редактору альманаха, опубликовавшему статью никому не известного инженера, и С.Л. Табачникову, давшему (в частном письме) положительную оценку первоначальному варианту этой работы. Слой-драконы и замощение плоскости (паркет-драконы)
Присущие линиям слоистых драконов свойства замкнутости и самопересечения позволяют рассмотреть ещё одну возможность заполнения плоскости – замощение. Замощением (или паркетами) называется сплошное покрытие плоскости геометрическими фигурами (правильными или неправильными многоугольниками) без пробелов и перекрытий. Геометрические фигуры, из которых образуется паркет, называются плитками. Паркет в целом состоит из большого количества плиток, но ограниченного числа плиток, различающихся по форме - так называемых протоплиток, конгруэнтными копиями которых и формируется паркет.
Замыкаясь, линии слой-драконов без самопересечений образуют на плоскости выделенную область, а линии с самопересечением образуют внутри этой области ещё и локальные замкнутые участки. Залив такую область или отдельные участки цветом, можно получить простые или очень сложные конфигурации протоплиток и использовать их в замощении.
Простые или сложные конфигурации протоплиток также можно получить, генерируя полный код замкнутых линий слой-драконов. На рис. 9 представлены такие линии Т2, Т3, Т4, Т5, Т6 с их короткими кодами SC. Протоплитка Т1 образуется при самопересечениях линии слоистого дракона за счёт скругления (срезания) прямых углов ломаной линии. Протоплитка Т4-1 получена отсечением фрагмента от Т4 и не имеет собственного полного кода. Используя различные сочетания этих протоплиток, можно провести замощение плоскости многими способами. На рисунке представлены четыре варианта таких паркетов.
Рис.9 Замощение плоскости с использованием относительно простых протоплиток
Рис.10 Замощение плоскости выделенной областью слой-дракона
Ещё один способ получения протоплиток и составления паркета приведён на рис.10. Из слой - дракона 9-го порядка выделен фрагмент в форме прямоугольника. Нужное для паркета количество фрагментов плотно стыкуются, как показано на рисунке. При этом возникают замкнутые контуры протоплиток (в данном случае – Т7), не имеющие собственного полного кода.
Следует особо подчеркнуть, что на рисунках заливка плиток паркета цветом выполнена для удобного визуального восприятия замощений. Математический паркет использует только геометрические формы.
Представленные на рис.9 и 10 конфигурации протоплиток относятся к разновидности полимино – полиплетам - плоским геометрическим фигурам, составленным из квадратов, соединённых вершинами. На рисунках квадраты скруглены, а их вершины соединяются между собой характерным «мостиком». В литературе описание и классификация различных форм полимино (и, в частности, полиплетов) сводится к демонстрации их изображений, сгруппированных по какому-либо признаку. Автор предполагает, что короткий код слой-драконов SC может послужить ключом к усовершенствованию математического описания подобных структур (см. S. Jablan “Mirror curves”). На рис.11 представлен слоистый дракон - полиплет из 256 квадратов.
Рис.11 Полиплет из 256 квадратов с его коротким кодом SC
Заливка цветом позволяет выявить своеобразное «взаимопроникающее замощение». На рис.12 классическая кривая дракона замкнута произвольной линией; образовавшаяся замкнутая область и фон залиты разным цветом.
Возникшие сложные взаимопроникающие конфигурации заполняют плоскость без пробелов и перекрытия.
Пусть, оформленная таким образом классическая кривая Хейтуэя-Хартера - кривая дракона, будет знаком признательности людям, подарившим нам этот замечательный математический объект.
Рис.12 Классическая кривая дракона («взаимопроникающее замощение»)
Дополнительные материалы
- S. Tabachnikov, «Dragon curves revisited»
(https://www.math.psu.edu/tabachni/prints/DragonCurves.pdf).
- Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер, «Кривые дракона». Журнал «Квант» №2, 1970 г.
- А.Н. Колмогоров, «Паркеты из правильных многоугольников». Журнал «Квант» №8, 1986 г.
- Мартин Гарднер, «Математические новеллы», изд. «Мир», Москва,1974 г.
- С.В. Голомб, «Полимино», изд. «Мир», Москва,1975 г.
- Slavik Jablan « Mirror curves»,
(archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-233.pdf)