Пифагорейская стратегия физики
20-01-2024
- Квантовая механика
- Если попытаться кратчайшим образом описать ту познавательную стратегию, которая привела к великим физическим открытиям XX века, то вряд ли это можно сделать лучше Ричарда Фейнмана:
- «It is possible to know when you are right way ahead of checking all the consequences. You can recognize truth by its beauty and simplicity. It is always easy when you have made a guess, and done two or three little calculations to make sure that it is not obviously wrong, to know that it is right .... We have to find a new view of the world that has to agree with everything that is known, but disagree in its predictions somewhere .... If you can find any other view of the world which agrees over the entire range where things have already been observed, but disagrees somewhere else, you have made a great discovery»
- «В своей правоте можно убедиться задолго до проверки всех следствий. Вы можете опознать истину по ее красоте и простоте. После того как вы сделали догадку и выполнили два-три небольших расчета, проверяя, что догадка не является очевидной ошибкой, всегда легко увидеть, что она верна. ... Нужно найти новый взгляд на мир, который должен быть в согласии со всем, что известно, но где-то отличаться в своих предсказаниях. ... Если вы смогли найти такую точку зрения на мир, которая согласуется со всем, что уже наблюдалось, но не согласуется где-то еще, вы сделали великое открытие» [17, p. 171].
- История создания квантовой физики иллюстрирует эту стратегию с неменьшей силой, чем история теории относительности. Здесь мы лишь кратко укажем на ряд важнейших шагов такого рода, отсылая за подробностями к специальным монографиям [11, 24, 27]; особо отметим весьма содержательный видеокурс по истории квантовой механики Андрея Грозина [3].Квантовая физика началась с гипотезы Макса Планка о дискретности электромагнитного излучения, с пропорциональной частоте энергией кванта (1900 г.). Эта гипотеза родилась в поиске такого физико-математического принципа, который объяснил бы наблюдавшийся спектр равновесного теплового излучения, излучения черного тела, противоречащий имевшейся «классической» физике. Предположение о дискретности нарушало существовавшие представления лишь в одном пункте, притом именно так, чтобы это нарушение было согласовано со старой теорией: объясняя новое, сходило на нет в классическом пределе большого числа квантов. Следующим подтверждением гипотезы световых квантов была построенная Эйнштейном на этой основе теория фотоэффекта, объяснившая основные особенности наблюдений (1905г).
- Из теории Планка вытекали далеко идущие догадки. Введенный им коэффициент пропорциональности между энергией и частотой кванта излучения имел размерность действия. Это наводило на универсальную гипотезу о квантованности действия любых физических систем, а не только электромагнитного поля. Именно по такому пути пошел Нильс Бор в построении первой успешной модели атома. Обобщая, он предположил, что состояния электрона в атоме могут быть не любыми, но принадлежать дискретному ряду с целочисленными значениями действия в единицах постоянной Планка. Отсюда он тут же получил главную серию спектра излучения простейшего атома, водорода (1913г.). Гипотеза Бора удовлетворяла тому самому принципу соответствия, о котором позже ретроспективно писал Фейнман: она переходила в известный классический предел нерелятивистского тормозного излучения для действий, больших по сравнению с планковской константой.Во второй половине 1925 г. был открыт универсальный подход к атомной физике, позже названный «матричной механикой». Инициатором был Вернер Гейзенберг, которому пришла мысль рассматривать двухиндексные величины, амплитуды атомных переходов между двумя состояниями, как главные характеристики атома. Далее он заметил, что правило квантования Бора можно переписать как формулу в терминах таких амплитуд. Этот результат Гейзенберг показал своему научному руководителю Максу Борну, который перевел вычисления на неизвестный тогда Гейзенбергу элегантный язык матриц и увидел, что идеи Гейзенберга, кажется, могут быть представлены в шокирующе красивом виде, как единичность коммутатора матриц импульса и координаты, поделенного на постоянную Планка и мнимую единицу. Увлекавшийся альпинизмом Гейзенберг уехал в горы, и Борн поделился этой гипотезой с другим своим студентом, Паскуалем Йорданом, который и нашел вскоре ее доказательство [3, лекция 9]. Отталкиваясь от этого результата, Борн, Йордан и вернувшийся из отпуска Гейзенберг получили и опубликовали основные формулы матричного подхода к квантовой механике. Вспоминая об этом времени, Гейзенберг писал:
«И вот уже вершина подо мною; вся область взаимосвязей атомной теории неожиданно и ясно раскинулась перед моими глазами. То, что эти соотношения показывают во всей своей математической абстракции, эта их фантастическая степень простоты, есть дар, который мы можем лишь смиренно принять. Даже и Платон не поверил бы, что это может оказаться столь красиво. Действительно, эти соотношения нельзя было изобрести: они существовали с сотворения мира» (цитируется по [9, p.6]).
Математическое соответствие квантовых коммутаторов и классических скобок Пуассона было обнаружено в том же 1925 г. Полем Дираком, независимо переоткрывшим ряд ключевых формул Борна и Йордана, и сформулировавшим принцип соответствия более глубоко, чем это понималось до тех пор:
«The correspondence between the quantum and classical theories lies not so much in the limiting agreement when h®0 [the Plank constant tends to zero], as in the fact that the mathematical operations on the two theories obey in many cases the same laws».
«Соответствие между квантовой и классической теориями заключается не столько в согласии при h®0 [постоянной Планка, стремящейся к нулю], сколько в том факте, что математические операции над двумя теориями во многих случаях подчиняются одним и тем же правилам» [13].
Другая догадка, порожденная планковской идеей дискретности излучения, принадлежала Луи де Бройлю (1923 г.). Если электромагнитное поле демонстрирует одновременно корпускулярные и волновые свойства, спросил он, то не означает ли это универсальности корпускулярно-волнового дуализма? А если так, то всякой частице должна отвечать волна, частота которой связана с энергией планковским отношением, а волновой вектор тем же образом должен быть связан с импульсом, в силу Лоренц-инвариантности. Но тогда, заметил Питер Дебай докладывавшему теорию де Бройля Эрвину Шредингеру, эта волна должна удовлетворять какому-то разумному уравнению. В самом конце 1925 г. Шредингер нашел это уравнение на том же пифагорейском пути математических жонглирований, аналогий и соответствий [3, лекция 11].
Если войти в чуть большие детали, то стоит сказать, что вначале Шредингер, играя с Лоренц-инвариантными формулами де Бройля, впервые получил релятивистски инвариантное волновое уравнение, ныне известное как уравнение Клейна-Гордона для частиц без спина (спин еще не был открыт). Решая его для атома водорода, Шредингер получил правильный основной спектр, но у него не сходилась тонкая структура, за которую и отвечает спин. Тогда Шредингер решил, что вопрос о тонкой структуре можно отложить на будущее, а пока ограничиться нерелятивистским пределом полученного уравнения. Этот предел и получил его имя. Вскоре была показана эквивалентность волновой и матричной теорий; вероятностный смысл волновой функции был предложен Борном.
После того, как нерелятивистское уравнение Шредингера доказало свою эффективность, Дирак в 1927 г. задался вопросом о том, как его обобщить на релятивистский случай частиц со спином. Никаких экспериментальных данных у него не было, оставалось полагаться только на игры с математикой. На этом пути Дираку пришла в голову как бы абсурдная идея извлечь квадратный корень из Лоренц-инвариантного оператора д'Аламбера, тем самым получив уравнение первого, а не второго порядка, и не на скаляр, а на двухкомпонентную величину, поскольку спин электрона может принимать два значения. Двигаясь в этом направлении, он увидел, что корень из оператора извлечь можно, но простейшее возможное уравнение получается не на двух-, а на четырех-компонентную величину. По сути, Дирак переоткрыл неизвестные ему тогда математические объекты, спиноры, введенные в 1913 г. французским математиком Эли Картаном.
В силу самой процедуры вывода, уравнение Дирака было согласовано с теорией относительности и содержало уравнение Шредингера как предельный случай. Одновременно из этого уравнения следовало нечто совершенно неожиданное, а именно то, что заряженные частицы должны, исходя из соображений симметрии, иметь каких-то неизвестных науке зеркальных двойников, отличающихся только знаком электрического заряда. Зеркальный двойник электрона, позитрон, был экспериментально обнаружен через четыре года после математических игр Дирака; вслед за этим последовали наблюдения и других античастиц. Так, на кончике пера, руководствуясь абстрактными математическими соображениями симметрии и красоты, был открыт новый вид вещества – антиматерия.
Гейзенберг вспоминал, что квантовая теория была «сразу же найдена убедительной благодаря ее полноте и абстрактной красоте» [19]. Что касается полноты, то её тут стоит понимать как достаточность для решения широкого класса задач тех универсальных принципов, что были сформулированы в 1925-26 годах. Подчеркивание же здесь Гейзенбергом роли красоты показывает, что не ему одному открывалось в рождавшейся теории то чудо, «что должно было существовать с сотворения мира».
- Квантовая теория поля
- Первые успехи квантовой теории были связаны с количественным описанием простейших атомов, прежде всего атома водорода. Взаимодействие между электронами и протонами ядра при этом представлялось как статическое, что и позволило точно решить задачу для водорода аналитическими методами. Квантовая природа электромагнитного поля, связывающего электроны и протоны при этом игнорировалась. Между тем, согласно уже самым начальным представлениям квантовой теории, поле дискретно и являет собой суперпозицию фотонов, количество которых при взаимодействии не сохраняется. Фотоны могут поглощаться и испускаться, результатом чего является то, что все состояния атома, помимо основного, имеют конечное время жизни. Если принять это во внимание, то даже проблема простейшего атома предстанет проблемой бесконечного числа взаимодействующих тел. Осознание этого факта дало толчок развитию квантовой теории поля, пионерами которой явились Юлиан Швингер, Ричард Фейнман, Син-Итиро Томонага и Фримен Дайсон. Их успех в построении квантовой электродинамики, задачи с переменным и потенциально неограниченным числом частиц, был обязан тому, что при всей новизне, эту задачу удалось решить достаточно консервативными математическими средствами, методами возмущений, тем самым лишь минимально выходя за границы уже освоенного.
- Построение теории внутриядерных взаимодействий столкнулось с новыми вызовами. По аналогии с электромагнетизмом, эти взаимодействия хотелось описать в терминах безмассовых (калибровочно инвариантных) полей, что, однако, не вязалось с тем фактом, что действуют они лишь на очень короткой дистанции, а значит, их переносчики взаимодействий массивны. Увязать калибровочную инвариантность с конечной массой удалось с помощью математических принципов, заимствованных из физики конденсированного состояния, из теории сверхпроводимости. Металлы в сверхпроводящем состоянии обладают свойством выталкивать из себя электромагнитное поле, что эквивалентно приобретению фотоном массы.
- Филип Андерсон связал появление массы фотона со спонтанным нарушением симметрии основного состояния металла, которое и стоит за феноменом сверхпроводимости. Механизм Хиггса обобщил находку Андерсона на все калибровочные поля, постулировав существование особого бозонного поля, конденсация которого и генерирует массу у переносчиков соответствующих взаимодействий. В итоге рожденная в недрах теории фазовых переходов математическая идея спонтанного нарушения симметрии органически вошла в состав Стандартной Модели фундаментальных взаимодействий. Здесь проявилась еще одна черта пифагорейской стратегии – свободная игра с уравнениями, отбор гипотез по их математическим качествам, безотносительно к той области, откуда они родом. Удивительной чертой самой природы является то, что эта достаточно простодушная стратегия оказалась исключительно успешной.
- Принципиальные идеи квантовой теории поля демонстрируют радикальный разрыв с идеями традиционного атомизма, восходящего к Демокриту и Эпикуру. Если для последних материя представлялась собранной из вечных частиц, каждая из которых могла существовать отдельно и сама по себе, то в современной физике многообразие материи раскрывается как порождение субстанционального единства, выраженного единством ее атемпоральных законов, а не материальных «атомов».
- На смену последним пришли элементарные частицы, которые распадаются, соединяются, превращаются друг в друга как проявления пронизывающего Вселенную единого поля.
- Сумасшедший рационализм физики
- Предложенный очерк истории математической физики иллюстрирует тот особенный характер поиска «аксиом природы», что был задан той же пифагорейской верой, что внушала надежду на возможность математического познания мира и вдохновляла на этот поиск. Обобщая, можно сказать, что точки роста физической теории задавались тем или иным противоречием, остро ощущаемым теми, кто не только нёс в себе эту веру, но и был ещё математически одарён и образован.Это могло быть противоречие между обилием эмпирического материала и отсутствием хорошей (в пифагорейском смысле) теории, его схватывающей, или противоречие между сложившейся теорией и новыми фактами, в неё не укладывающимися, или между сложившимися и складывающимися теориями.
- Следом за выходом на такого рода противоречие начинался поиск гипотезы, которая так или иначе сняла бы его. От гипотезы требовалась математическая элегантность, т.е. принципиальная простота, симметрии, инвариантности, достаточная универсальность, широта охвата, плюс, при всей новизне, у неё должен быть определенный консонанс с уже принятыми теориями. В соответствующих предельных случаях результаты новой гипотезы должны сами собой переходить в выводы хороших старых теорий. Разумеется, гипотеза должна быть адекватной тем фактам, ради охвата которых ее и ищут, где теорий либо нет вообще, либо они есть, но терпят фиаско. Только такая гипотеза, пифагорейски-хорошая, всему сказанному удовлетворяющая, может вообще претендовать на внимание как кандидат на принимаемую теорию.
- Поиск такой хорошей теории совершался теми средствами, которые мы, вслед за Марком Штайнером [24], называем пифагорейскими, и которые мы охарактеризовали как свободную игру в математические аналогии, аллюзии и аллегории. Эта игра ведется математической интуицией, вкусом и фантазией участников. В ней нет жестких формальных правил, нет строгой логики, в ней можно многое, чего в установившейся нормальной науке нельзя, но что она впоследствии наследует вместе с правилами обхода опасностей или их устранением. Можно, например, допускать сразу существование и несуществование эфира. Можно считать электроны одновременно локальными и нелокальными сущностями, частицами и волнами. Можно «заметать под ковер» математические расходимости. Можно извлекать квадратные корни хоть из отрицательных чисел, хоть из операторов дифференцирования, допускать любые виданные и невиданные математические структуры как фундаментальные. Можно всерьёз утверждать, что кот одновременно жив-здоров и мёртв. Можно играючи идти на многое, смело шутя со здравым смыслом, оставляя странности, загадки и парадоксы «на потом» – все вольности оправдаются желанной гипотезой, будь лишь эта сумасшедшая красота найденной [22]. «Мы все согласились, что ваша теория безумна [crazy]. Вопрос, что нас разделяет — достаточно ли она безумна, чтобы иметь шанс быть верной [to be correct]», заметил Нильс Бор Вольфгангу Паули после выступления последнего [14].
- Стремясь к познанию божественного плана Вселенной, основоположники физики полагались одновременно и на строгую математическую красоту плана, и на его граничащее с непостижимым «безумие». Именно такой, пифагорейской, стратегии обязана своим немыслимым успехом рациональнейшая из наук о природе – математическая физика. Тайна эффективности этого образа мышления, согласимся с Юджином Вигнером, сокрыта [26]. Но большой, долгосрочный успех этой антропоцентричной стратегии свидетельствует о ее адекватности; подобного же рода успехов в истории немного.
- Благодарность: Авторы признательны Льву Бурову за полезные обсуждения.
- Литература
-
- 1. Арнольд В.И. Недооцененный Пуанкаре. // Успехи Математических Наук. – 2006. – Т. 61, вып. 1. – С. 3–24.
2. Буров А., Цвелик А. Пифагорейский аргумент разумного замысла Вселенной и его критика. Часть I: Двойная структура пифагорейского аргумента. // Идеи и идеалы. – 2023. – Т. 15, №3, ч.2 – С. 290‐313.
3. Грозин А.Г. История квантовой механики, видеокурс. – 2018. https://www.youtube.com/playlist?list=PLPFUq1zn8x34Fh8mJgYPvzCBqoygFjqfs .
4. Дмитриев И.С. Неизвестный Ньютон: силуэт на фоне эпохи. – СПб.: Алетейя, 1999. – 784 с.
5. Логунов А.А., Мествиришвили М.А., Петров В.А. Как были открыты уравнения Гильберта-Эйнштейна? // Успехи Физических Наук. – 2004. – T. 174, вып. 6. – С. 663-678.
6. Пуанкаре А. О Науке. – Москва: Наука, 1983. – 560 с.
7. Фридман А.А. Мир как пространство и время. – 2-е изд. – Москва: Наука, 1965. – С. 100–101.
8. Шапиро И.С. К истории открытия уравнений Максвелла.// Успехи Физических Наук. – 1972. – T. 108, вып. 2. – С. 319-333.
9. Bersanelli M. & Gargantini M. From Galileo to Gell–Mann. – West Conshohoken, PA: Templeton Press, 2009. – 320 p.
10. Boglyubov N.N., jr. (originator), Perturbation theory, Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
11. Darrigol O. From c-Numbers to q-Numbers. Berkeley and Los Angeles: University of California Press, 1992.
12. Darrigol O. Relativity Principles and Theories from Galileo to Einstein. Oxford: Oxford University Press. Kindle Edition, 2022. – 482 p.
13. Dirac P.A.M. The Fundamental Equations of Quantum Mechanics. // Proceedings of the Royal Society. – 1926 – Ser. A, vol. 109. – P. 642-653.
14. Dyson F. Innovation in Physics. Scientific American, 199, No. 3, September 1958, pp. 74-82.
15. Faraday M. Lecture notes of 1858, quoted in Jones B. The Life and Letters of Faraday. – 1870. – Vol. 2, p. 404
16. Ferguson K. The Music of Pythagoras. New York: Bloomsbury Publishing, Kindle Edition, 2011.
17. Feynman R. The Character of Physical Law. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965 – 173 p.
18. Gowers T. Is mathematics discovered or invented?// In Polkinghorne J., ed. Meaning in Mathematics (p. 10). Oxford: Oxford University Press. Kindle Edition, 2011. – 159 p.
19. Heisenberg W. The Meaning of Beauty in the Exact Sciences. // in Across the Frontier. New York: Harper & Row, 1974, p. 167.
20. Jammer M. Einstein and religion: physics and theology. Princeton, NJ: Princeton University Press. Kindle Edition, 1999.
21. Clerk Maxwell J. Inauguration talk at the Marischal College, 1856. https://christianscholars.com/james-clerk-maxwell-a-model-for-twenty-first-century-physics-in-the-christian-liberal-arts/
22. Penrose R. Fashion, Faith, and Fantasy in the New Physics of the Universe. Princeton University Press, 2016. – 501 p.
23. Snow C.P. The Two Cultures: And a Second Look: An Expanded Version of The Two Cultures and the Scientific Revolution. – Cambridge University Press, 1962. – 107 p. Русский перевод исходного эссе Сноу http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/ECCE/SNOW/TWOCULT.HTM .
24. Steiner M. The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998. – 215 p.
25. Wagner R. and Briggs A. The Penultimate Curiosity. Oxford: Oxford University Press. Kindle Edition, 2016. – 468 p.
26. Wigner E. Unreasonable effectiveness of mathematics in natural science, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.13, issue 1, pp. 1-14, 1960. Русский перевод: Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках, УФН, 1968, т. 93, с. 535–546.
27. Wilczek F. A Beautiful Question: Finding Nature’s Deep Design. New York: Penguin Press, Kindle edition, 2015. Русский перевод: Вильчек Ф. Красота физики: постигая устройство природы (Альпина, 2016).
- 1. Арнольд В.И. Недооцененный Пуанкаре. // Успехи Математических Наук. – 2006. – Т. 61, вып. 1. – С. 3–24.
- Предлагаемая читателям "Лебедя" публикация является частью статьи Бурова и Цвелика "Пифагорейская стратегия физики" из их цикла статей "Пифагорейский аргумент разумного замысла вселенной и его критика" в новосибирском философском журнале "Идеи и идеалы", Полностью здесь:
- https://ideaidealy.nsuem.ru/articles/pifagoreyskiy-argument-razumnogo-zamisla-vselennoy-i-ego-kritika-chast-ii-pifagoreyskaya-strategiya-fiziki
(Голосов:21, Средний балл: 3,43 из 5)
Loading...
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария:
Рейтинг комментария: